정규분포의 정의와 평균, 분산

1. 정규 분포의 랜덤 변수

정규 분포는 Gaussian Distribution 또는 Normal Distribution이라 한다. 고등학교 때 확률과 통계에서도 배우고 대학교에 올라와서도 제일 중요하게 배우는 분포이다. 정규분포는 중심 극한 정리나 이외에도 여러 공식을 유도할 때도 많이 사용되는 통계에서 가장 중요한 분포이다.

정규분포

2. 정규분포의 특성

1) 종모양의 분포 : 좌우가 대칭인 종모양의 분포를 갖는다

2) 평균값 = 중앙값 = μ

3) P(x <=μ) = P(x>=μ) = 1/2

4) 평균이 0, 분산이 1인 표준 정규분포를 갖는다

5) 표준정규분포는 별도의 표가 존재해 값을 구하기 편하다

 

3. 평균

이 때, 앞의 식은 기함수와 우함수가 곱해져 기함수이므로, 적분 값은 0이 되고, 뒤의 식을 적분하면,

이 된다. 따라서 평균은 μ이 된다.

(가우스 적분 참고)

 

4. 분산

마찬가지로 가우스 적분을 이용해 마지막 값을 구할 수 있다 (이전 게시글 참고)

 

보통 평균값과 분산을 직접 계산할 일은 없지만 한 번쯤 증명해 봐도 괜찮을 것 같다:)