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행렬을 여러 개의 원소로 이루어져 있는데 다음과 같이 1) 열에 대한 벡터들 또는 2) 행에 대한 벡터들로 이루어져 있다고 생각할 수 있습니다. 결과는 모두 동일하지만 어떤 식으로 보냐에 따라 해석을 다르게 해석할 수 있기 때문에 오늘은 각각의 곱셈 결과에 대해 해석해보려 합니다. 1) 내적과 외적 표현 ① 내적 내적 연산의 결과는 스칼라가 됩니다. ② 외적 외적 연산의 결과는 행렬이 됩니다. 2) 행렬과 벡터 곱에 대한 표현 ① 행벡터에 대한 곱셈 ② 열벡터에 대한 곱셈 열벡터에 대한 합으로 나타내면 선형결합으로 해석할 수 있습니다. 각각에 열벡터값을 가중치라 생각하면 벡터 x에 대해 가중치를 곱하는 연산으로도 해석할 수 있습니다. 머신러닝 알고리즘이나 퍼셉트론 등을 해석할 때는 열벡터에 대한 곱셈으로..

1. 미정계수법 미정계수법은 비제차 선형 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나입니다. 비제차 선형 상미분방정식은 위와 같은 형태를 같습니다. 제차 미분방정식과 다르게 비제차 미분방정식은 제차 미분방정식의 해와 특수해를 일반해로 갖습니다. 미정 계수법은 r(x)를 보고 적당한 특수해의 형태를 결정하여, 주어진 미분방정식에 직접 값을 대입하여 미정계수를 구하는 방법입니다. 미정계수법을 사용할 때 다음과 같은 규칙을 적용해 미정계수를 구할 수 있습니다. 2. 예제

1. 론스키안 행렬식(Wronskian Determinant) 론스키안 행렬식은 유한 개 함수들이 일차독립인지 확인하기 위한 도구입니다. 론스키안 행렬식의 값이 0이 아닐 때는 이 함수 집합은 모두 일차독립이 됩니다. 반면, 행렬식의 값이 0이 되면 함수 집합은 일차종속이 됩니다. 2. 증명 함수집합이 구간 I에서 일차종속일 경우 아래식을 만족합니다. 이를 행렬에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다. n-1번 미분한 식에 대한 행렬과 계수에 대한 곱을 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. k1, k2 ..., kn은 일차종속이기 때문에 자명하지 않은 해를 갖습니다. 따라서 행렬식의 값은 0이 됩니다. 반대로 일차독립인 경우 행렬식의 값은 0이 아니게 됩니다.

1. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 1) 2계 오일러-코시 방정식 오일러-코시 방정식을 사용하면 위와 같은 형태의 미분방정식을 풀 수 있습니다. 이 때의 일반해를 x에 대한 지수배로 정의하여 풀이할 수 있습니다. x에 대해 미분할 때마다, 차수가 하나씩 줄어드는 성질을 이용해 특성방정식을 구해 문제를 풀 수 있습니다. 구해진 특성 방정식을 이용해 해를 구할 수 있습니다. 2) 3계 오일러-코시 방정식 3계 오일러-코시 방정식도 2계 오일러-코시 방정식과 동일한 방식으로 특성방정식을 구할 수 있습니다. 특성방정식을 구하면 다음과 같습니다. 동일한 방식으로 n계 오일러-코시 방정식까지 방정식을 확장할 수 있습니다. 2. 예제 1) 서로 다른 두 실근 일반해를 구하면 다음과 같습..

1. 제차 선형미분방정식(homogeneous linear differential equation) 위와 같은 2계 제차 선형미분방정식을 표준형이라 합니다. 상수계수를 갖는다는 것은 위 식에서 P(x)와 Q(x)가 상수인 형태를 의미합니다. 상수계수를 가질 때는 일반해를 위와 같이 지수함수로 정의할 수 있습니다. 식에 대입하여 특성방정식을 풀어보면 2차 방정식으로 바꾸어 풀이할 수 있습니다. 2. 예제 1) 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 서로 다른 두 실근을 가지는 경우에는 아래와 같이 일반해를 구할 수 있습니다. 2) 중근을 가지는 경우 중근을 가지는 경우에는 앞서 공부한 차수 축소법을 사용해 다른 하나의 해를 구할 수 있습니다. 다른 경우에도 중근을 가지는 경우에는 x를 붙여 두번째 해를 쉽게 구..

2계 제차 선형 미분방정식의 하나의 해를 아는 경우, 이 해와 일차독립인 두번째 해를 구할 수 있습니다. u(x)는 x에 대한 함수입니다. 미분방정식의 하나의 해인 y2는 주어진 미분방정식을 만족합니다. u에 대해 식을 정리하면 다음과 같습니다. 따라서 해 y2를 y1에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

1. 오일러 공식(Euler's formula) 오일러 공식은 복소수를 지수로 가지는 자연함수의 정의를 나타냅니다. x가 pi일 때는 오일러 등식(Euler Equation)이라 하며, 지수함수와 허수단위, pi의 계산 결과가 정수가 된다는 결과를 나타냅니다. 2. 오일러 공식의 유도 1) 극좌표계 2) 테일러 급수

1. 베르누이 방정식(Bernoulli equation) 위 형태의 미분방정식을 베르누이 방정식이라고 합니다. 이 때 n의 값은 1보다 큰 정수입니다. n = 0: 일계 선형미분방정식으로 풀이 가능 n = 1: 변수분리형 미분방정식 형태로 풀이 가능 그렇기 때문에 n의 값이 1보다 큰 미분방정식에 대해서만 베르누이 방정식이라 정의합니다. 2. 예제

1. 일계 선형미분방정식(first order linear differential equation) 앞선 변수분리형 미분방정식에 대해 소개할 때 일계 선형미분방정식은 위와 같다 하였습니다. 변수분리형 미분방정식은 Q(x)는 0일 때의 특수한 경우에서의 풀이 방법입니다. 이번에는 Q(x)가 0이 아닌 값일 때의 일반해를 구해보려 합니다. 주어진 미분방정식의 적분인자를 곱해준 후 일반해를 구해보려 합니다. 즉, 일계 선형미분방정식이 주어질 때 일반해는 다음과 같습니다. 2. 예제