적률 생성 함수 (Moment Generating Function : MGF)

1. 적률(Moment)이란?

적률, μ로도 표기

적률이란 확률변수 X^n의 기댓값을 의미한다. X^n의 기댓값을 n차 적률이라 하며, n이 1이면 1차 적률, 2이면 2차 적률이라 한다.

 

1차 적률은 평균(mean), 2차 적률은 분산(variance), 3차 적률은 왜도(skewness), 4차 적률은 첨도(kurtosis)를 구하는 데 사용될 수 있다.

평균과 분산만 갖고는 분포를 정확히 파악하기 어렵다. 왜도와 첨도의 데이터를 얻으면 좀 더 분포에 대해 정확히 이해할 수 있는데 적률을 이용해 분포의 특성을 쉽게 얻을 수 있다.

 

2. 적률 생성 함수(Moment Generating Function: MGF)

적률 생성 함수는 특정 확률 분포에 대한 "적률을 생성하는 함수"이다. 다음과 같이 정의되고 값을 계산하므로써 적률을 구할 수 있다.

a=0에서의 테일러급수를 구한 후 미분을 취해주면 적률을 구할 수 있다.

매클로린 급수를 구하므로,

 

적률 생성함수를 n번 미분하고 t=0을 대입하면 n차 적률을 구할 수 있다. 그러므로 적률값을 계산하면 다음과 같다.