마르코프 부등식, 체비셰프 부등식 (Markov Inequality, Chebyshev Inequality)

1. 마르코프 부등식(Markov Inequality)

• 확률변수의 기댓값을 알고 있을 때 사용 가능하다
• 정확한 확률분포를 몰라도 기댓값을 알면 사용 가능하다는 장점이 있다
• 체비셰프 부등식을 증명하기 위해 사용된다

 

마르코프 부등식은 음이 아닌 값을 갖는 확률변수의 상한값을 나타낸다.

 

2. 마르코프 부등식의 증명

부등식 오른쪽의 적분식에서 x는 c^2부터 무한대까지 적분을 한다. 그러므로 x값은 항상 c^2보다 크게 된다.

 

3. 체비셰프 부등식(Chebyshev Inequality)

• 확률변수의 분산을 알고 있을 때 사용 가능하다
• 마르코프 부등식에 비해 상한값이 줄어든다(정확도가 더 높다)
• 마르코프 부등식을 이용해 증명 가능하다

 

체비셰프 부등식은 마르코프 부등식과 다르게 확률변수가 음일 경우에도 사용 가능하다는 장점이 있다. 분산이라는 추가적인 정보가 필요하지만 그만큼 범위가 줄어든다는 장점이 있다.

 

4. 체비셰프 부등식의 증명

부등식을 통해 분산이 매우 작아질 경우 확률변수 Y가 평균에서 멀어질 확률이 낮아진다는 것을 볼 수 있다.