테일러급수, 매클로린 급수(Taylor Series, Maclaurin Series)

1. 테일러급수(Taylor Series)

 

x=a에서의 Taylor 급수

 

테일러급수는 무한히 미분 가능한 함수 f(x)에 대해 점 x=a에서 해당 함수 f(x)에 접하는 다항 함수를 표현하는 방법이다.

테일러급수는 말 그대로 급수로, 무한개의 다항식으로 표현된다. 하지만 몇 개의 항만을 이용해도 해당 값에 근사한 값을 구할 수 있으므로 보통 몇 개의 항만을 이용해 근사치를 낸다. 

 

테일러급수를 이용하면 해석 함수의 근사치를 구할 수 있다. 삼각함수나 지수함수들도 다항함수로 나타내 값을 근사 시킬 수 있고 외에도 복잡한 해석 함수 계산도 비교적 쉽게 구할 수 있는 장점이 있다.

 

테일러급수가

 

a=0인 경우의 테일러급수가 주로 사용되고 이런 급수를 매클로린 급수라 한다.

2. 테일러급수의 증명

무수히 미분 가능한 함수 y=f(x)에 대해, 함수 f(x)는 다음을 만족한다.

 

 

 

f(a)를 제외하고 뒤에 있는 적분식을 부분 적분을 이용해 계산해보자

 

1을 적분하면 적분상수를 포함한 t+c가 나오게 된다

 

다시 뒤에 있는 적분식만 살펴보면,

 

 

 

마지막으로 한 번 더 뒤의 적분식을 계산하면,

 

 

 

위 식들을 정리해서 f(x)를 나타내 보자

 

 

 

마지막 적분식은 위에서와 같이 계속 적분이 가능하다. 식을 계속 정리해 나가면 위의 테일러급수를 구할 수 있다

 

3. 매클로린 급수(Maclaurin Series)

자주 사용하는 매클로린 급수의 형태