가우스 적분

다음과 같은 적분을 가우스 적분이라 한다

 

 

가우스 적분은 중심 극한 정리에 사용되며 정규 분포 식을 증명할 때도 사용되는 적분이다. 이외에도 편미분에서도 자주 등장하는 함수로 알아두면 유용한 함수이다.

 

주어진 함수를 그리면 다음과 같다

 

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def func_(x):
    return np.exp(-(x**2)/2)

x = np.arange(-5, 5, 0.1)
plt.plot(x, func_(x))

<참고 코드>

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그래프는 범위를 -5~5까지 한정했지만 그래프가 무한대로 가면 결국 양 끝은 0으로 수렴할 것이다. 해당 그래프의 범위는 어떻게 구할 수 있을까?

 

구하고자 하는 적분의 결과 값을 I로 두면 다음과 같다

 

 

양변을 제곱하면,

 

 

이 때, x는 단순히 매개 변수이므로 다른 기호를 사용해 나타낼 수 있다.

 

 

직교 좌표계를 사용하기에는 무리가 있어 보이므로 해당 식을 극좌표계로 변환해 보자