Koo's.Co

1. 미정계수법 미정계수법은 비제차 선형 상미분방정식을 푸는 방법 중 하나입니다. 비제차 선형 상미분방정식은 위와 같은 형태를 같습니다. 제차 미분방정식과 다르게 비제차 미분방정식은 제차 미분방정식의 해와 특수해를 일반해로 갖습니다. 미정 계수법은 r(x)를 보고 적당한 특수해의 형태를 결정하여, 주어진 미분방정식에 직접 값을 대입하여 미정계수를 구하는 방법입니다. 미정계수법을 사용할 때 다음과 같은 규칙을 적용해 미정계수를 구할 수 있습니다. 2. 예제

1. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation) 1) 2계 오일러-코시 방정식 오일러-코시 방정식을 사용하면 위와 같은 형태의 미분방정식을 풀 수 있습니다. 이 때의 일반해를 x에 대한 지수배로 정의하여 풀이할 수 있습니다. x에 대해 미분할 때마다, 차수가 하나씩 줄어드는 성질을 이용해 특성방정식을 구해 문제를 풀 수 있습니다. 구해진 특성 방정식을 이용해 해를 구할 수 있습니다. 2) 3계 오일러-코시 방정식 3계 오일러-코시 방정식도 2계 오일러-코시 방정식과 동일한 방식으로 특성방정식을 구할 수 있습니다. 특성방정식을 구하면 다음과 같습니다. 동일한 방식으로 n계 오일러-코시 방정식까지 방정식을 확장할 수 있습니다. 2. 예제 1) 서로 다른 두 실근 일반해를 구하면 다음과 같습..

1. 제차 선형미분방정식(homogeneous linear differential equation) 위와 같은 2계 제차 선형미분방정식을 표준형이라 합니다. 상수계수를 갖는다는 것은 위 식에서 P(x)와 Q(x)가 상수인 형태를 의미합니다. 상수계수를 가질 때는 일반해를 위와 같이 지수함수로 정의할 수 있습니다. 식에 대입하여 특성방정식을 풀어보면 2차 방정식으로 바꾸어 풀이할 수 있습니다. 2. 예제 1) 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 서로 다른 두 실근을 가지는 경우에는 아래와 같이 일반해를 구할 수 있습니다. 2) 중근을 가지는 경우 중근을 가지는 경우에는 앞서 공부한 차수 축소법을 사용해 다른 하나의 해를 구할 수 있습니다. 다른 경우에도 중근을 가지는 경우에는 x를 붙여 두번째 해를 쉽게 구..

2계 제차 선형 미분방정식의 하나의 해를 아는 경우, 이 해와 일차독립인 두번째 해를 구할 수 있습니다. u(x)는 x에 대한 함수입니다. 미분방정식의 하나의 해인 y2는 주어진 미분방정식을 만족합니다. u에 대해 식을 정리하면 다음과 같습니다. 따라서 해 y2를 y1에 대한 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

1. 베르누이 방정식(Bernoulli equation) 위 형태의 미분방정식을 베르누이 방정식이라고 합니다. 이 때 n의 값은 1보다 큰 정수입니다. n = 0: 일계 선형미분방정식으로 풀이 가능 n = 1: 변수분리형 미분방정식 형태로 풀이 가능 그렇기 때문에 n의 값이 1보다 큰 미분방정식에 대해서만 베르누이 방정식이라 정의합니다. 2. 예제

1. 일계 선형미분방정식(first order linear differential equation) 앞선 변수분리형 미분방정식에 대해 소개할 때 일계 선형미분방정식은 위와 같다 하였습니다. 변수분리형 미분방정식은 Q(x)는 0일 때의 특수한 경우에서의 풀이 방법입니다. 이번에는 Q(x)가 0이 아닌 값일 때의 일반해를 구해보려 합니다. 주어진 미분방정식의 적분인자를 곱해준 후 일반해를 구해보려 합니다. 즉, 일계 선형미분방정식이 주어질 때 일반해는 다음과 같습니다. 2. 예제

1. 완전미분방정식 위와 같은 미분방정식은 다음과 같은 일반해를 갖습니다. 일반해를 f(x, y)라는 함수라 할 때, 이와 같이 일계 미분방정식이 전미분방정식 형태를 가질 때, 이와 같은 미분방정식을 완전미분방정식(exact differential equation)이라고 합니다. 완전미분방정식의 경우 P의 x편미분값과 Q의 y편미분값이 같아지게 됩니다. 완전미분방정식을 만족할 때 구하고자 하는 미분방정식의 일반해는 위와 같이 나오게 됩니다. 1-1. 예제 2. 적분인수(Integrating factor) 모든 미분방정식이 완전 미분방정식을 만족하는 것은 아닙니다. 완전 미분방정식을 만족하지 않을 때는 적절한 적분인자를 곱해주어 완전미분방정식으로 나타내어 줄 수 있습니다. 양변을 x에 대해 적분해주어 적분..