모집단과 표본집단, 표본평균의 의미

통계적 추론, 추정의 의미?

앞선 게시물에서 통계적 추정에 대해서 공부하고 평균과 표준편차를 알고 있을 때 데이터가 그 안에 포함될 확률을 구해보았습니다.

오늘은 왜 표본분포가 필요하고 앞서 공부했던 방법에 어떤 문제?가 있는지 알아보려 합니다.

 

1. 모집단

어떤 데이터에 대해 평균과 표준편차를 알 수 있으면 그것에 대한 많은 정보를 함축적으로 알 수 있습니다. 하지만 평균과 표준편차를 알려면 해당하는 데이터에 대해 모~~~두 알고 있어야 합니다. 모든 사람의 키, 잠자는 시간, 일하는 시간, 밥 먹는 양 등등... 어떤 데이터도 세상에 존재하는 모~~든 데이터를 구하는 것은 불가능합니다. 

 

하지만 통계적 추정을 사용하면 정확한 값은 아니더라도 대략 어느정도일 것이다! 하는 추정, 즉 예측이 가능해집니다. 저번에는 평균과 표준편차를 알고 있을 때 추정을 통해 데이터가 어느구간안에 있을 확률을 구해봤습니다.(여기에서 얻은 아이디어를 좀 더 확장!!)

 

공부하기에 앞서 모집단과 표본을 구분해야 합니다.

세상에 존재하는 모~~든 데이터를 "모집단"이라 합니다. 우리가 통계적 추정을 통해 구하는 값은 모집단의 평균과 표준편차입니다. 모집단에서 구하는 평균과 표준편차와 같은 값을 "모수"라 합니다. 즉 모집단의 값을 추정하는 과정을 "모수의 추정"이라 합니다.

 

세상에 존재하는 모~~든 데이터를 알기에는 비용이 너무 크고 불가능에 가깝습니다. 투표 같은 경우 개표작업을 통해 전수작업을 하지만 대부분의 경우가 너무나 비효율적이기 때문에 일부 데이터만을 사용합니다. 이렇게 얻은 데이터를 "(확률)표본"이라 합니다. 표본은 서로 독립적이며 동일한 분포를 따릅니다. 미지의 수인 모수를 포함하지 않는 표본만의 함수를 "통계량"이라 합니다. 통계량은 모수를 포함하지 않고 표본이 가지는 함수로, 모수에 의존하지 않습니다. 이 통계량의 확률분포를 "표본분포"라 합니다.

 

이렇게 얻은 표본의 평균을 "표본평균(x̅)", 분산을 "표본분산"이라 합니다. 표본분산의 제곱근을 "표본표준편차"라 할 수 있지만 표본표준편차는 사용되지 않고 보통 표본분산을 사용합니다.

 

정리)

- 모집단: 알고자 하는 전체 데이터 집합

- 모수: 모집단의 특성을 나타내는 값

- (확률)표본: 모집단에서 얻어낸 서로 독립이고 동일한 분포를 따르는 확률변수들

- 통계량: 모수를 포함하지 않는 확률표본만의 함수, 모수에 의존하지 않는 표본만의 함수

- 표본분포: 통계량의 확률분포

- 표본평균(x̅): 크기 n인 표본의 평균, 확률표본 𝑋1,𝑋2,𝑋3,...,𝑋𝑛을 추출했을 때, 해당하는 확률표본들의 평균이다

※주의:  확률표본 𝑋1,𝑋2,𝑋3,...,𝑋𝑛은 각각이 크기가 n이 아니라 크기가 1인 표본들이 n개 있는것!

 

2. 중심극한정리

표본의 수 n이 충분히 큰 경우(보통 n > 30 정도) 모집단의 분포에 관계없이 표본평균의 분포는 정규분포를 따른다는 정리입니다. 확률표본을 추출한 후 이들의 평균을 구하는 시행을 반복하면, 이들 평균의 분포는 정규분포에 근사하게 됩니다.

이렇게 구해진 정규분포는 다음과 같습니다.

근사된 정규분포