몬티홀 딜레마, 몬티홀 문제 풀이

몬티홀 문제

A, B, C 세 개의 문이 주어진다. 한 개의 문 뒤에는 자동차가 있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 염소가 있다. 당신이 A문을 열었고 사회자는 C문을 열어 염소를 확인시켜주었다. 사회자가 당신에게 문을 바꿀지 물어볼 때 당신은 선택을 바꿀 것인가?

 

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조건부 확률과 베이즈 정리를 공부할 때 꼭 접하게 되는 확률 문제이다. 정답부터 말하면 바꾸는 것이 이득이다. 지금부터 왜 그런지 두 가지 방법으로 확률 문제를 풀며 살펴보려 한다.

 

풀이 1) 조건부 확률 이용

사회자가 각각의 문을 여는 사건을 A, B, C라 하자.

각각의 문을 선택했을 때, 1) 선택을 바꾸지 않는 경우와 2) 바꾸는 경우에 대해서 비교해 보려 한다.

차는 A문 뒤에 있다 가정하자. (바꾼다는 사실이 중요하므로 어느 문을 정답이라 생각하든 결과는 동일하다)

 

각 문을 열었을 때, 사회자가 문을 열 확률은 다음과 같다.

① 처음에 A문을 선택

A문을 선택할 확률: 1/3

P[B] = 1/2

P[C] = 1/2

- A문 뒤에 차가 있으므로 사회자는 B 또는 C문 중 하나를 열 것이다.

 

② 처음에 B문을 선택

B문을 선택할 확률: 1/3

P[A] = 0

P[C] = 1

- A문 뒤에 차가 있으므로 사회자는 C문을 열 수밖에 없다.

 

③ 처음에 C문을 선택

C문을 선택할 확률: 1/3

P[A] = 0

P[B] = 1

- A문 뒤에 차가 있으므로 사회자는 B문을 열 수밖에 없다.

 

 

1) 선택을 바꾸지 않는 경우

2) 선택을 바꾸는 경우

따라서 선택을 바꾸는 경우가 차를 선택할 확률이 더 높다.

 

 

풀이 2) 베이즈 정리를 이용

다시 처음 문제로 돌아와 당신은 A문을 열었고 사회자는 C문을 열었다 하자. 

• 각 문 뒤에 차가 있는 사건을 각각 A, B, C라 하고, 사회자가 문 C를 고르는 사건을 D라 하자. 
• P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 이다.
• 구하고자 하는 것은 사건 D가 일어났을 때, 바꾸지 않았을 때의 확률 P(A|D)과 바꿨을 때의 확률 P(B|D)을 구하는 것이다.

 

각 문을 선택했을 때 사회자가 문을 열 확률을 구해보자.

① 사건 A의 경우

P(D|A) = 1/2

- 문 A 뒤에는 차가 있고,  B와 C 중 하나인 C를 열었으므로 1/2이다.

 

② 사건 B의 경우

P(D|B) = 1

- 문 B 뒤에 차가 있으므로 사회자는 C를 열 수밖에 없으므로 1이다.

 

③ 사건 C의 경우

P(D|C) = 0

- 문 C 뒤에 차가 있었다면 사회자는 C를 열 수 없으므로 0이다.

 

따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같다.

따라서, 최종적으로 B문을 선택했을 때, 선택을 바꿨을 때가 당첨될 확률이 높다.

 

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조건부 확률을 이용하면 위와 같이 몬티홀 문제를 풀 수 있다. 직관적으로도 이해할 수 있는데, 100개의 문이 있고 그중 한 개의 문만 당첨이라 하자. 하나를 선택하고 나머지 99개 문 중 98개의 문이 비었음을 보이고 선택을 바꿀지 물어본다. 그럼 선택을 바꾸는 것이 유리할까?

 

처음 문을 선택했을 때, 내가 선택한 문이 성공일 확률은 1/100이고, 나머지 99개의 문이 성공할 확률은 99/100이다. 여기서 98개의 문이 비었음을 보이므로 선택을 바꾼다면 99%로 성공일 것이다. 와 닿지 않는다면 문이 100만 개라 생각하고 마찬가지의 상황을 생각해보자. 처음 내가 선택한 문의 성공확률은 100만 분의 1인데, 바로 성공을 골랐을 수 있을까? 마찬가지의 생각을 3개의 문으로 축소해서 생각해보면 된다.

 

몬티홀 문제의 핵심은 처음 내가 고른 답이 오답일 때 바꾸면 무조건 성공하게 된다는 것이다. 2/3의 확률로 처음 선택한 문은 오답이므로 이런 상황이 있으면 꼭 선택을 바꾸자