선형대수 개요

1. 선형대수?

- 주어진 문제를 추상화시켜 복잡한 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 방법론을 제공한다. 대수학 중 추상대수는 다양한 연산들에 대한 추상적인 부분을 다루고 선형대수는 그중 덧셈과 곱셈 연산 후의 변화와 구조에 대해 다룬다.

 

-선형대수학은 선형방적식의 풀이를 위한 행렬 이론, 벡터 공간과 둘 사이의 선형 사상에 관한 이론이 핵심을 이룬다.

*행렬 이론 : 선형시스템의 효과적인 표현을 가능하게 한다.

*벡터 공간 : 제한된 영역에서의 선형 사상을 표현하기 유용하다.

*선형 사상 : 선형적 함수로, 선형적 성질을 갖는 현상을 표현하고 이해하는 패러다임 제공

 

*선형대수를 배우는 이유

-선형 방정식을 푸는 것이 중요한 이유는 다양한 분야에서 선형 방정식의 문제를 만나는 경우가 많기 때문이다. 또 복잡하고 어려운 문제를 선형 방정식 문제로 쪼개고 축약시킬 수 있는 경우가 많기 때문에 유용하다.

 

2. 선형이란?

-선형이란 집합A의 원소들을 선형 결합의 형태로 나타낼 수 있는 것을 말한다.

<집합A의 원소>

<선형결합 형태>

위와 같이 집합의 원소에 상수를 곱하여 더한 선형 결합이 집합 A에 속하는 경우를 선형이라 한다. 또한 선형 방정식은 변수들의 곱이나 제곱근의 형태, 삼각함수, 2차 함수 등을 포함할 수 없고, 1차 항까지만 포함할 수 있다.

 

<선형방정식>

 

<선형방정식이 아니다>

 

*선형 시스템

-유한개의 선형방정식의 집합을 선형 방정식이라 한다. 선형 시스템을 만족하는 값을 해라고 하며, 모든 해의 집합을 해집합이라 한다.

-b의 값들이 모두 0일 경우, 제차선형시스템이라하고 x1=x2=x3=... xn=0을 항상 만족한다. 이때의 해를 자명해라 한다.

 

<제차선형시스템>

 

-한편, 제차선형시스템에서 x값들 중 어느 하나라도 0이 아니면 비자명해라고 한다.