행렬의 고유값/고유벡터

1. 고유값

- 행렬A가 주어질 때, 다음을 만족하는 λ를 고유값, x를 고유값λ에 대한 고유벡터라 한다.

 

0이 아닌 해가 존재하기 위해서는 det(A-λI)=0을 만족해야 한다.

 

이 때의 행렬식 det(A-λI)=0을 특성방정식이라 한다.

 

 

ex) 다음과 같은 행렬이 주어질 때, 

행렬A에 대한 특성방정식

 

주어진 행렬에 대한 고유값을 구할 수 있다.

 

Ax=λx를 만족해야 한다

 

따라서 고유벡터는 x1=1, x2=2 가 된다. 

 

 

2. 고유값의 의미

행렬A를 선형변환으로 볼 때, 벡터x에 선형변환을 취하면 벡터x의 크기와 방향이 바뀌게 된다. 

 

이 때, 크기는 변하지만 방향은 변하지 않는 벡터가 존재할까?

위에서 설명한 고유벡터는 크기만 고유값 λ배만큼 변하고 방향은 변하지 않는다.

 

3. 특성방정식의 계산

- 직접 고유값과 고유벡터를 구할 때, 시간이 오래 걸리는데 나름의 공식(?)을 외우면 2x2, 3x3행렬이 주어졌을 때, 금방 풀 수 있다.

 

(1) 2x2 행렬

2x2 행렬

λ항은 주어진 -(행렬의 대각합)이고 상수항은 주어진 행렬의 행렬식이 된다.

 

 

(2) 3x3 행렬

3x3 행렬

λ^2항은 -(행렬의 대각합)이고 상수항은 행렬의 행렬식이 된다.

λ항은 다음과 같은 규칙으로 쉽게 구할 수 있다.

(1) 대각성분을 2개씩 곱해서 더한다.

>>ae+ei+ia

(2) 오른쪽에서 왼쪽아래방향으로 대각선성분에 있는 값들을 곱해 뺀다.

>>-(bd+cg+fh)

(3) 따라서 λ항은

(ae+ei+ia) - (bd+cg+fh) 가 된다.

 

-익숙해지면 대학시험이나 편입시험에서 특성방정식을 빠르게 구할 수 있다:)

 

4. 프로그래밍

-파이썬의 numpy를 이용하면 쉽게 고유값과 고유벡터를 구할 수 있다.

import numpy as np
import numpy.linalg as alg

A=np.array([[1,2],[4,3]])
_eigenvalue,_eigenvector=alg.eig(A)
print(_eigenvalue)
print(_eigenvector)

고유값과 이 때의 고유벡터